문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 섭동 이론 (문단 편집) === [[삼각함수]]형 섭동 === 다음과 같은 섭동을 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \mathcal{H}'(t)=V(\mathbf{r})\cos{(\omega t)} \end{aligned})]}}} 또, 문제를 간단히 하기 위해 2준위 계를 생각하자. 이 계는 [math(E_a)], [math(E_b)]의 두 에너지 준위만을 가지며, [math(E_a0)]에서 섭동이 "켜진"다고 생각하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \mathbf{c}(0)=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \end{aligned})]}}} 이다. 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \mathbf{c}(t)&=\biggl[ \pmb{\mathsf{I}}-\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t} \pmb{\mathsf{G}}(t')\,{\rm d}t' \biggr] \,\mathbf{c}(0) \end{aligned})]}}} 이므로 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} c_{a}(t)\\c_{b}(t) \end{bmatrix}&=\left[ \begin{bmatrix} 1 ~ &0\\0 ~ & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 ~&\displaystyle -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t} V_{ab}\, e^{-i \omega_{ba} t'} \cos{(\omega t')}\,{\rm d}t' \\\displaystyle -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t} V_{ba}\, e^{i \omega_{ba} t'} \cos{(\omega t')}\,{\rm d}t' ~& 0 \end{bmatrix} \right]\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \end{aligned} )]}}}|| 여기서 [math(V_{ab}=\langle \varphi_{a}| V(\mathbf{r}) |\varphi_{b} \rangle)]이고, 우변의 제2항의 행렬의 대각성분을 0이라 놓은 것은 많은 물리 문제에서 [math(\mathcal{H}'_{aa}=\mathcal{H}'_{bb}=0)]을 만족하기 때문이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} c_{a}(t)&=1 \\ \\ c_{b}(t)&=-\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t} V_{ba}\, e^{i \omega_{ba} t'} \cos{(\omega t')}\,{\rm d}t' \\&=-\frac{iV_{ba}}{2\hbar}\int_{0}^{t} \, e^{i (\omega_{ba}+\omega) t'}+e^{i (\omega_{ba}-\omega) t'}\,{\rm d}t' \\&=-\frac{V_{ba}}{2\hbar} \left[ \frac{e^{i (\omega_{ba}+\omega) t'}-1}{\omega_{ba}+\omega}+\frac{e^{i (\omega_{ba}-\omega) t'}-1}{\omega_{ba}-\omega} \right] \end{aligned})]}}} 이때, [[오일러 공식|[math(2\cos{(\omega t)}=e^{i\omega t}+e^{-i \omega t})]]]임을 사용했고, [math(c_{b})]는 입자가 [math(a \to b)]로 여기할 확률과 관계된 것이므로 여기에 초점을 맞춘다. 대게 [math(\omega \simeq \omega_{ba})]인 영역에 관심이 있기에 앞 항은 무시 가능하여 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} c_{b}(t)& \simeq -\frac{V_{ba}}{2\hbar} \frac{e^{i (\omega_{ba}-\omega) t'}-1}{\omega_{ba}-\omega} \\&=-\frac{V_{ba}}{2\hbar}\cdot 2i \cdot \frac{1}{\omega_{ba}-\omega} \frac{\exp{\biggl[ \dfrac{i(\omega_{ba}-\omega)t}{2} \biggr]}-\exp{\biggl[- \dfrac{i(\omega_{ba}-\omega)t}{2} \biggr]}}{2i} \cdot \exp{\biggl[ \dfrac{i(\omega_{ba}-\omega)t}{2} \biggr]} \\&=-\frac{iV_{ba}}{\hbar} \frac{\sin{\biggl( \dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t \biggr)}}{\omega_{ba}-\omega} \cdot \exp{\biggl[ \dfrac{i(\omega_{ba}-\omega)t}{2} \biggr]} \end{aligned} )]}}}|| [math(a \to b)]로 여기할 확률은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} P_{ab}(t) &=|c_{b}(t)|^2 \\ &=\frac{|V_{ba}|^{2}}{\hbar^2}\frac{\sin^2{\biggl( \dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t \biggr)}}{(\omega_{ba}-\omega)^2} \end{aligned})]}}} 이것은 보다시피 시간에 따라 진동하는 형태가 된다. 그런데 언뜻 이 결과를 받아들이기 힘들 수도 있다. 외부에서 섭동이 가해졌는데, 시간이 지나면 되돌아가고, 다시 여기하고, 이것을 반복하게 된다는 것이니깐 말이다. 하지만 이는 우리가 외부 섭동의 진동수를 단일로 고려했기에 이러한 결과가 나타난 것이며, 약간의 분포가 있으면 이러한 효과가 지워지게 된다. 위 확률을 [math(\omega)]에 대한 함수로 살펴보는 것은 꽤 흥미롭다. 단, 우리는 [math(t \gg \hbar/E)]인 영역에 관심이 있기 때문에 [math(t \to \infty)]로 근사적으로 생각할 수 있고, 그렇게 되면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} P_{ab}(\omega) &=\lim_{t\to \infty}\frac{|V_{ba}|^{2}}{\hbar^2}\frac{\sin^2{\biggl( \dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t \biggr)}}{(\omega_{ba}-\omega)^2} \\&=\frac{|V_{ba}|^{2}}{\hbar^2} \cdot \frac{t^2}{4} \lim_{t \to \infty} \frac{\sin^2{\biggl( \dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t \biggr)}}{\biggl(\dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t \biggr)^2}\\&=\frac{|V_{ba}|^{2}}{\hbar^2} \cdot \frac{t^2}{4} \cdot \pi \delta\biggl( \dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t\biggr) \\ &=\frac{|V_{ba}|^{2} t}{2\hbar^2} \delta(\omega_{ba}-\omega) \end{aligned})]}}} 이에 단위 시간당 천이율은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} R_{ab}(t)&=\dot{P}_{ab}(\omega) \\ &=\frac{|V_{ba}|^{2} }{2\hbar^2}\delta(\omega_{ba}-\omega) \end{aligned})]}}} 이것을 보면, [math(E_{b}-E_{a}=\hbar \omega)]를 만족하는 각진동수의 섭동이 가해졌을 때 천이율은 최대가 된다. 즉, '''흡수 전이'''가 일어나는 상황을 묘사한 것임을 알 수 있다. 이를테면 그 섭동이 전자기파인 경우 두 에너지 준위의 차 만큼의 에너지를 갖는 전자기파가 흡수되어야만 천이가 일어난다는 것이다. || [[파일:namu_코사인형섭동_그래프.svg|width=780&align=center]] || 참고로 [math(P_{ab}(\omega))]의 최댓값은 [math(t^2)]에 비례한다. 그럼 그 반대의 경우, 즉 [math(\varphi_{b})]인 상태에서 [math(\varphi_{a})]의 상태로 떨어지는 경우, 이 경우에도 마찬가지의 방법으로 구해보면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} P_{ba}(t) &=|c_{a}(t)|^2 \\ &=\frac{|V_{ab}|^{2}}{\hbar^2}\frac{\sin^2{\biggl( \dfrac{\omega_{ab}+\omega}{2}t \biggr)}}{(\omega_{ba}+\omega)^2} \\ &=\frac{|V_{ab}|^{2}}{\hbar^2}\frac{\sin^2{\biggl( \dfrac{-\omega_{ba}+\omega}{2}t \biggr)}}{(-\omega_{ba}+\omega)^2} \\ &=\frac{|V_{ab}|^{2}}{\hbar^2}\frac{\sin^2{\biggl( \dfrac{\omega_{ba}-\omega}{2}t \biggr)}}{(\omega_{ba}-\omega)^2} \\&=P_{ab}(t)\end{aligned})]}}} [math(t \gg \hbar/E)]인 영역에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} R_{ba}(t)&=\dot{P}_{ba}(\omega) \\ &=\frac{|V_{ab}|^{2} }{2\hbar^2}\delta(\omega_{ba}-\omega) \end{aligned})]}}} 즉, 이 경우는 [math(E_{b}-E_{a}=\hbar \omega)]를 만족하는 각진동수의 섭동이 가해졌을 때 입자가 다른 준위로 내려가게 된다. 이것은 곧 해당 에너지를 갖는 전자기파를 흡수하여 더 낮은 에너지 준위로 떨어지면서 광자 한 개를 내놓는 '''유도 방출'''을 묘사함을 알 수 있다. [[파일:namu_흡수_유도.svg|width=400&align=center&bgcolor=#ffffff]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기